Matematică, întrebare adresată de hikary2022, 8 ani în urmă

Determinati cel mai mare numar natural n, astfel incat (1*3*5*...*100) este divizibil cu 3^n. Ajutati-ma repede va rog!​


andyilye: sigur este 1×3×5×...×100? nu are sens...

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de exprog
1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Multiplii lui 3 din produs sunt:

3*1, 3*2, 3*3, 3*4, ..., 3*33,  adica 33 de 3

Multiplii lui 9 = 3^2 din produs sunt:

9*1, 9*2, 9*3, ..., 9*11,  adica inca 11 de 3

Multiplii lui 27 =3^3 din produs sunt:

27*1, 27*2, 27*3,  inca 2*3 = 6  de 3

n  max. = 33+11+6 = 50,  

 deci  1*3*5*...*100   se divide cu max.  3^50


hikary2022: Iti multumesc mult!
Răspuns de lucasela
2

Răspuns:

n=26 este cel mai mare pentru care 1*3*5...*100 este divizibil cu 3ⁿ.

Explicație pas cu pas:

Dacă avem:

1*2*3*....*100 divizibil cu 3ⁿ

Aflăm exponentul factorului prim 3 din produsul 1*2*3*....*100:

[100/3]+[100/3²]+[100/3³]+[100/3⁴]+[100/3⁵]=

=33+11+3+1+0

=48

Obs.  [a]= partea întreagă a lui a

Deci, exponentul factorului prim 3 din produsul 1*2*3*...*100 este 48.

=> n=48 este cel mai mare pentru care 1*2*3*...*100 este divizibil cu 3ⁿ.

Dacă avem: 1*3*5....*100 divizibil cu 3ⁿ

Aflăm exponentul factorului prim 3 din produsul 1*3*5....*100:

Sunt 33 nr mai mici decât 100 divizibile cu 3; [100/3]=33.

Dintre cele 33, 16 sunt pare, 17 sunt impare.

Sunt 11 nr mai mici decât 100 divizibile cu 3²; [100/3²]=11.

Dintre cele 11, 5 sunt pare, 6 sunt impare, (1*9, 3*9, 5*9, 7*9, 9*9, 11*9)

Sunt 3 nr mai mici decât 100 divizibile cu 3³; [100/3³]=3.

Dintre cele 3 numere, unul este par, 2 sunt impare, (1*27, 3*27)

E un singur număr divizibil cu 3⁴, 1*81, e impar.

=>17+6+2+1=26

Obs.  [a]= partea întreagă a lui a

Deci, exponentul factorului prim 3 din produsul 1*3*...*100 este 26.

=> n=26 este cel mai mare pentru care 1*3*5...*100 este divizibil cu 3ⁿ.

Alte întrebări interesante