Determinati cel mai mare numar natural n, astfel incat (1*3*5*...*100) este divizibil cu 3^n. Ajutati-ma repede va rog!
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Multiplii lui 3 din produs sunt:
3*1, 3*2, 3*3, 3*4, ..., 3*33, adica 33 de 3
Multiplii lui 9 = 3^2 din produs sunt:
9*1, 9*2, 9*3, ..., 9*11, adica inca 11 de 3
Multiplii lui 27 =3^3 din produs sunt:
27*1, 27*2, 27*3, inca 2*3 = 6 de 3
n max. = 33+11+6 = 50,
deci 1*3*5*...*100 se divide cu max. 3^50
Răspuns:
n=26 este cel mai mare pentru care 1*3*5...*100 este divizibil cu 3ⁿ.
Explicație pas cu pas:
Dacă avem:
1*2*3*....*100 divizibil cu 3ⁿ
Aflăm exponentul factorului prim 3 din produsul 1*2*3*....*100:
[100/3]+[100/3²]+[100/3³]+[100/3⁴]+[100/3⁵]=
=33+11+3+1+0
=48
Obs. [a]= partea întreagă a lui a
Deci, exponentul factorului prim 3 din produsul 1*2*3*...*100 este 48.
=> n=48 este cel mai mare pentru care 1*2*3*...*100 este divizibil cu 3ⁿ.
Dacă avem: 1*3*5....*100 divizibil cu 3ⁿ
Aflăm exponentul factorului prim 3 din produsul 1*3*5....*100:
Sunt 33 nr mai mici decât 100 divizibile cu 3; [100/3]=33.
Dintre cele 33, 16 sunt pare, 17 sunt impare.
Sunt 11 nr mai mici decât 100 divizibile cu 3²; [100/3²]=11.
Dintre cele 11, 5 sunt pare, 6 sunt impare, (1*9, 3*9, 5*9, 7*9, 9*9, 11*9)
Sunt 3 nr mai mici decât 100 divizibile cu 3³; [100/3³]=3.
Dintre cele 3 numere, unul este par, 2 sunt impare, (1*27, 3*27)
E un singur număr divizibil cu 3⁴, 1*81, e impar.
=>17+6+2+1=26
Obs. [a]= partea întreagă a lui a
Deci, exponentul factorului prim 3 din produsul 1*3*...*100 este 26.
=> n=26 este cel mai mare pentru care 1*3*5...*100 este divizibil cu 3ⁿ.