Question

Determinati cel mai mare si cel mai mic numar natural divizibil cu 18 de forma:
a)3x1y cu bara deasupra, x diferit de y
b)8xy cu bara deasupra, x diferit de y
c)1x51 cu bara deasupra, x diferit de y

Answer 1

18=2*9
Daca un nr este divizibil cu 18, inseamna ca este divizibil si cu 2 si cu 9 in acelasi timp.
Din criteriul de divizibilitate cu 2, rezulta ca ultima cifra a numarului trebuie sa fie din multimea {0, 2, 4, 6, 8}.
Criteriul de divizibilitate cu 9 spune ca suma cifrelor numarului trebuie sa fie divizibila cu 9, deci:
a) 3x1y divizibil cu 2 rezuta y apartine multimii {0, 2, 4, 6, 8}
3x1y divizibil cu 9 rezuta 3+x+1+y=4+x+y este divizibil cu 9

Pentru a gasi numarul cel mai mare, trebuie sa avem x= cifra cea mai mare posibil (in primul rand), deci verificam chiar pt x=9:
4+9+y=13+y divizibil cu 9 si y cat mai mare din multimea {0, 2, 4, 6, 8}
Dand, pe rand, valori lui y din multimea {0, 2, 4, 6, 8}, observam ca nici una nu furnizeaza un multiplu de 9 pentru 13+y, deci x=9 nu convine.
Incercam x=8:
4+8+y=12+y multilu de 9 si y cat mai mare din multimea {0, 2, 4, 6, 8} Observam ca y=6 convine, deci numarul cel mai mare cautat este: 3816.

Pentru a gasi numarul cel mai mic, trebuie sa avem x= cifra cea mai mica posibil, deci verificam chiar pt x=0:
4+0+y=4+y divizibil cu 9 si y cat mai mic din multimea {0, 2, 4, 6, 8}
Dand, pe rand, valori lui y din multimea {0, 2, 4, 6, 8}, observam ca nici una nu furnizeaza un multiplu de 9 pentru 4+y, deci x=0 nu convine.
Incercam x=1:
4+1+y=5+y multilu de 9 si y cat mai mic din multimea {0, 2, 4, 6, 8} Observam ca y=4 convine, deci numarul cel mai mic cautat este: 3114.

b) 8xy divizibil cu 2 rezuta y apartine multimii {0, 2, 4, 6, 8}
8xy divizibil cu 9 rezuta 8+x+y este divizibil cu 9

Pentru a gasi numarul cel mai mare, trebuie sa avem x= cifra cea mai mare posibil (in primul rand), deci verificam chiar pt x=9:
8+9+y=17+y divizibil cu 9 si y cat mai mare din multimea {0, 2, 4, 6, 8}
Dand, pe rand, valori lui y din multimea {0, 2, 4, 6, 8}, observam ca nici una nu furnizeaza un multiplu de 9 pentru 8+x+y, deci x=9 nu convine.
Incercam x=8:
8+8+y=16+y divizibil cu 9 si y cat mai mare din multimea {0, 2, 4, 6, 8}
gasim ca y=2 convine, deci 8xy cel mai mare este: 882.

Pentru a gasi numarul cel mai mic, trebuie sa avem x= cifra cea mai mica posibil, deci verificam chiar pt x=0:
8+0+y=8+y divizibil cu 9 si y cat mai mic din multimea {0, 2, 4, 6, 8}
Dand, pe rand, valori lui y din multimea {0, 2, 4, 6, 8}, observam ca nici una nu furnizeaza un multiplu de 9 pentru 8+x+y, deci x=9 nu convine.
Incercam x=1:
8+1+y=9+y divizibil cu 9 si y cat mai mic din multimea {0, 2, 4, 6, 8}
gasim ca y=0 convine, deci 8xy cel mai mic este: 810.

c) 1x51 nu poate fi divizibil cu 18, deoarece este numar impar, deci nu se divide cu 2.
Deci nu exista valori ale lui x pentru care 1x51 sa fie divizibil cu 18.