Question

Determinati cifra de pe pozitia 2013 a numarului 15255355545555...2013

Answer 1

   
Numarul este format grupe de cifre de forma:
■ un sir de numerede la 1 la 2012
■ fiecare din acest numar este urmat de atatea cifre de 5 cat indica numarul.
■ dupa al 2012-a grupa urmeaza numarul 2013. 

Calculam numarul de cifre pe urmatoarele tronsoane:
1) de la grupa 1 pana la grupa 9
2) de la grupa 10 pana la grupa 99
3) de la grupa 100 la grupa 999 - doar daca este nexesar
4) s.a.m.d  - doar daca este necesar


[tex]\displaystyle \\ \text{Tronsonul 1 :} \\ 2+3+4+\cdots+10=\frac{9(10+2)}{2}=\frac{9\times12}{2}=9\times6= \boxed{54~de~cifre}\\\\ \text{Tronsonul 2 :}\\ 12+13+14+\cdots+101=?\\\\ \text{Calculam numarul de termeni:}\\ n=101-12+1=90~de~termeni\\ 12+13+14+\cdots+101=\\\\ =\frac{90(101+12)}{2}=\frac{90\times113}{2}=45\times113= \boxed{5085~de~cifre}\\\\\\ \text{Nu mai este necesar sa calculam tronsoanele urmatoare}\\ \text{deoarece: } (5085+54)\ \textgreater \ 2013~\text{(Numarul de ordine al cifrei cautate)} [/tex]


Presupunem ca a 2013-a cifra din sir este ultima cifra a unei grupe.
Aceasta grupa este grupa "n" din tronsonul 2. 


[tex]\displaystyle \\ 12+13+14+\cdots+n=?\\\\ \text{Calculam numarul de termeni:}\\ n=n-12+1=(n-11)~de~termeni\\ 54 + (12+13+14+\cdots+n)=\\\\ =\boxed{54+\frac{(n-11)(n+12)}{2}~cifre}\\ \text{unde 54 este numarul de cifre din primul tronson.}\\\\ Rezolvam ecuatia:\\\\ 54+\frac{(n-11)(n+12)}{2}=2013\\\\ \frac{(n-11)(n+12)}{2}=2013-54\\\\ \frac{(n-11)(n+12)}{2}=1959\\\\ (n-11)(n+12)=1959\times2\\\\ (n-11)(n+12)=3918\\\\ n^2-11n+12n-132=3918\\\\ n^2+n-132-3918=0[/tex]


[tex]\displaystyle \\ n^2+n-4050=0 \\ \\ n_{12} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4\times 4050}}{2} =\frac{-1 \pm \sqrt{16201 }}{2} \\ \\ \text{Eliminam solutia negativa deoarece }~n\ \textgreater \ 0 \\ \\ n = \frac{-1 + \sqrt{16201 }}{2}= \frac{-1 + 127,28}{2}=\frac{126,28}{2}=63,14 \\ \\ \text{Rezulta ca a 2013-a cifra se afla in grupa notata cu 64 din tronsonul 2.} \\ \\ \text{Calculam nr de ordine al ultimei cifre din grupa} \\ \text{notata cu 63 din tronsonul 2} [/tex]


[tex]\displaystyle \\ 12+13+14+\cdots+63=?\\\\ \text{Calculam numarul de termeni:}\\ n=63-12+1=52~de~termeni\\ 54 + (12+13+14+\cdots+63)=\\\\ =54+\frac{52(63+12)}{2} = \\ \\ =54+\frac{52 \times 75}{2} =54 + 26 \times 75 =54 + 1950 =2004\\ \\ \Longrightarrow~~\text{A 2004-a cifra este ultima cifra a grupei} \\ \text{notate cu 63 din tronsonul 2.} \\ \\ 2013 - 2004 = 9 \\ \\ \Longrightarrow~~\text{A 2013-a cifra este a 9-a cifra a grupei} \\ \text{notate cu 64 din tronsonul 2.} [/tex]


[tex]\text{Grupa notata cu 64 din tronsonul 2, are 64 de cifre, astfel: } \\ \\ 6255555...5555, ~~\text{adica numarul 62 urmat de 62 cifre de 5. } \\ \\ \Longrightarrow~~\text{A 9-a cifra din grupa notata cu 64 este 5.} \\ \\ \Longrightarrow~~\text{A 2013-a cifra a numarului dat in enunt este:} ~\boxed{5}[/tex]