Question

Determinati cifrele a,b,c si d stiind ca abcd=abc+2013

Answer 1

În exerciții de acest fel, metoda de lucru presupune ca mai întâi să scrii numerele desfășurat, pe sute, zeci, unități etc. Apoi faci calcule și vezi ce se mai poate deduce.

$\displaystyle \overline{abcd} = \overline{abc}+2013$

1000a + 100b + 10c + d = 100a + 10b + c + 2013

1000a - 100a + 100b - 10b + 10c - c = 2013 - d

900a + 90b + 9c = 2013 - d

9 · (100a + 10b + c) = 2013 - d

$\displaystyle 9 \cdot \overline{abc} =2013 - d$

$\displaystyle \overline{abc} = \frac{2013 -d}{9}$

$\displaystyle \overline{abc} \in \mathbb{N} \implies \frac{2013 -d}{9} \ \in \mathbb{N}$

⇒ (2013 - d) este multiplu de 9

• De aici încolo avem două variante de rezolvare pentru a afla pe d:

(I)

Regula divizibilității cu 9 este ca suma cifrelor numărului să fie divizibilă cu 9, adică egală cu 9; 18 etc.

d cifră ⇔ 0 ≤ d ≤ 9

Dăm valori lui d de la 0 la 9 și facem suma cifrelor numărului (2013 - d):

(2013 - d) ∈ {2013, 2012, 2011, 2010, 2009, 2008, 2007, 2006, 2005, 2004}

Singurul divizibil cu 9 este 2007.

⇒ d = 6

(II)

$\displaystyle \frac{2013 -d}{9} \ \in \mathbb{N} \implies \frac{2013}{9} -\frac{d}{9} \ \in \mathbb{N}$

⇔ 223,(6) - d/9 ∈ N

d cifră ⇒ d/9 ∈ {0; 1/9; 2/9; ... ; 8/9; 1} ⇒ 0 ≤ d ≤ 1

⇒ singura posibilitate ca nr. 223,(6) ∈ N este ca d/9 = 0,(6)

d/9 = 0,(6) = 6/9  ⇒ d = 6

• Revenim la numărul abc:

$\displaystyle \overline{abc} = \frac{2013 -d}{9} = \frac{2007}{9} =223$

⇒ cifrele căutate sunt a = b = 2; c = 3; d = 6