Question

Determinați ecuația tangentei la graficul functiei f în punctul de abscisă x=0, situat pe graficul functiei f.

Answer 1

$f(x)=\frac{x+5}{x-5}$

Avem formulă pentru ecuația tangentei:

[tex]y-y_0=m(x-x_0) [/tex]

Pentru a o aplica, avem nevoie să cunoaștem $x_0, y_0$ si $m$.

$x_0$ îl cunoaștem din datele problemei (este egal cu 0).

$y_0=f(x_0)$, iar $m=f'(x_0)$

Deci:

$y_0=f(x_0) \\\\y_0=f(0)\\\\y_0= \frac{0-5}{0+5} =-1$

$m=f'(x_0)\\\\m=f'(0)$

Pentru a calcula f'(0), calculăm mai întâi f'(x) și înlocuim pe x cu 0 în derivată.

$f'(x)= (\frac{x+5}{x-5} )'$

Se derivează după formula $( \frac{f}{g} )'= \frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}$.

Deci:
[tex]f'(x)= \frac{(x+5)'\cdot(x-5)-(x+5)(x-5)'}{(x-5)^2} \\\\ f'(x)=\frac{1\cdot(x-5)-(x+5)\cdot 1}{(x-5)^2}\\\\ f'(x)= \frac{x-5-x-5}{(x-5)^2} \\\\ f'(x)=- \frac{10}{(x-5)^2} \Rightarrow f'(0)=- \frac{10}{(0-5)^2} =- \frac{10}{25} =- \frac{2}{5} [/tex]

$m=- \frac{2}{5}$

Acum că am aflat tot ce ne trebuie, le înlocuim în formulă:

[tex]y-y_0=m(x-x_0) \Rightarrow\\\\ y-(-1)=-\frac{2}{5}(x-0)\\\\ y+1=-\frac{2}{5}x\\\\ \frac{2}{5}x+y+1=0/\cdot (5)\\\\ 2x+5y+5=0 \leftarrow ecuatia~tangentei~in~x_0=0[/tex]