Question

Determinați funcțiile f:N* →N* cu proprietatea:
f(n)+ f(n+1) + f(f(n)) = 3n+1, oricare n eN*.
AM NEVOIE URGENT!!

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Avem f(n)=an+b forma generala a unei functii

f(n+1)=a(n+1)+b

f(f(n))=f(an+b)=a(an+b)+b

deci vom avea

an+b+an+a+b+a²n+ab+b=3n+1

grupam convenabil

a²n+2an+a+3b+ab=3n+1

se egaleaza coeficientii lui n si termenii liberi astfel:

a²+2a=3

a+3b+ab=1

avem un sistem

din prima avem

a²+2a-3=0

Δ=4+12=16

$a_{1} =\frac{-2+4}{2} =1\\a_{2}=\frac{-2-4}{2} =-3$

le luam pe rand si aflam b:

pentru a=1 ⇒1+3b+b=1

b=0 deci functia va fi f(n)=n

pentru a=-3⇒ -3+3b-3b=1 nu se poate