Question

Determinati nr naturale a și b, stiind ca indeplinesc simultan conditile: A.(a,b)=12, 5a+2b=384 B. (a,b)=15, a+b=180

Answer 1

a).   a=12x si b=12y   unde (x;y)=1 => 5*12x+2*12y=384
                                                          => 60x+24y=384 |:12
                                                                  5x+2y =32  => x=2 ; y=11;   
                                                                                           x=6 ; y= 1 ; 
                                                                             (a;b)={(24;132);(72;12)}
                                                                    
b).   a=15x si b=15y  unde (x;y)=1  => 15(x+y)=180  |:15
                                       x+y = 12  =>  x=1 ; y=11 ;    
                                                              x=5 ; y=  7;
                                                              x=7 ; y= 5 ;
                                                            x=11 ; y= 1 ;  
                                    (a;b)={(15;165);(75;105);(105;75);(165;15)}
                                                                                           

Answer 2

1)
(a,b)=12
Deci:
a divizibil cu 12 rezulta a=12A
b divizibil cu 12 rezulta b=12B
5a+2b=384
12A*5+12B*2=384
60A+24B=384
12*(5A+2B)=384
5A+2B=384:12
5A+2B=32
5A=32-2B
5A=2*(16-b)
Rezulta ca 5A e numar par.
Iar cum 5A nu dividie pe 2 inseamna ca A dividie pe 2.
A poate fi un numar par.
Numerele pare sunt: 2,4,6,8,10,... .
Daca A=2
2*5+2B=32
10+2B=32
2B=32-10
2B=22
B=22:2
B=11
a=2*12=24
b=11*12=132
Daca A=4
4*5+2B=32
20+2B=32
2B=32-20
2B=12
B=12:2
B=6
a=4*12=48
b=6*12=72
Dar nu respecta cerinta deoarece (a,b)=24
Daca A=6
6*5+2B=32
30+2B=32
2B=32-30
2B=2
B=2:2
B=1
a=6*12=72
b=1*12=12
Daca A=8
5*8+2B=32
40+2B=32
B nu e numar natural.
Solutia 1:
a=24 b=132
Solutia 2:
a=72 b=12
2)
(a.b)=15
Deci:
a divizibil cu 15 rezulta a=15A
b divizibil cu 15 rezulta b=15B
a+b=180
15A+15B=180
15*(A+B)=180
A+B=180:15
A+B=12
                 *15   *15
A    B          a     b
1     11        15    165
2     10        30    150⇒(a,b)=30; Solutia este eliminata pentru ca nu respecta cerinta
3     9          45     135⇒(a,b)=45; Solutia este eliminata pentru ca nu respecta cerinta
4     8          60      120⇒(a,b)=60; Solutia este eliminata pentru ca nu respecta cerinta
5     7          75      105
11   1          165      15
10    2          150      30⇒(a,b)=30; Solutia este eliminata pentru ca nu respecta cerinta
9     3           135      45⇒(a,b)=45; Solutia este eliminata pentru ca nu respecta cerinta
8     4          120      60⇒(a,b)=60; Solutia este eliminata pentru ca nu respecta cerinta
7      5         105       75
6       6         90        90⇒(a,b)=90; Solutia este eliminata pentru ca nu respecta cerinta
Solutia 1:
a=15 b=165
Solutia 2:
a=75 b=105
Solutia 3:
a=165 b=15
Solutia 4:
a=105 b=75