Question

determinați nr naturale ABC în baza 10 cu a<b<c, știind ca ab în baza 10+bc în baza 10 +ca în baza 10=132 și b este media aritmetica a numerelor a și c
VA ROG REPEDE!!! ​

Answer 1

$\overline{abc} = 100a + 10b + c, \text{In baza 10}$

$\overline{ab} + \overline{bc} + \overline{ca} = 132\\10a + b + 10b + c + 10c + a = 132\\10(a + b + c) + a + b + c = 132\\(a+b+c)(10 + 1) = 132\\a + b + c = \frac{132}{11} = 12$

$\text{Daca b este media aritmetica al numerelor a si c :}\\b = \frac{a + c}{2} \iff a + c = 2b$

Din ultima și penultima egalitate obținem: $a + b + c = 2b + b = 3b = 12 \implies b = 4.\\a + 4 + c = 12 \implies a + c = 8, \text{ deoarece a, b sunt cifre stim ca 1 \leq a, c \leq 9 }\\a = 8 - c \implies 1 \leq 8 - c \leq 9 \vert (-1) \implies -1 \geq c - 8 \geq -9 \vert +8\\7 \geq c \geq -1, \text{stim ca c \geq 1 , deci } c \in \{1, 2, 3, ..., 7\}$

Să nu uităm condiția că $a < b < c \iff 1\leq a < 4 < c \leq 9 \implies a \in \{1, 2, 3\} \text{, } c \in \{5, 6, 7\}$

Numerele sunt: $\boxed{\{147, 246, 345\}}$