Question

determinati numarul N care are egalitatea:2^0+2^1+2^2+.......+2^n+1=5^0+5^1+5^2+.....+5^n-1​

Answer 1

Răspuns:

Calculăm fiecare sumă în parte:

 S₂ = 2⁰ + 2¹ + 2² + ... + 2ⁿ⁺¹

2S₂ = 2¹ + 2² + 2³ +... + 2ⁿ⁺²

2S₂ - S₂ = 2¹ + 2² + 2³ +... + 2ⁿ⁺² - 2⁰ - 2¹ - 2² - ... - 2ⁿ⁺¹

S₂ = 2ⁿ⁺² - 2⁰ = 2ⁿ⁺² - 1

 S₅ = 5⁰ + 5¹ + 5² + ... + 5ⁿ⁻¹

5S₅ = 5¹ + 5² + 5³ +... + 5ⁿ

5S₅ - S₅ = 5¹ + 5² + 5³ +... + 5ⁿ - 5⁰ - 5¹ - 5² - ... - 5ⁿ⁻¹

4S₅ = 5ⁿ - 5⁰ = 5ⁿ - 1

S₅ = (5ⁿ - 1) : 4

Egalăm cele două sume:

2ⁿ⁺² - 1 = (5ⁿ - 1) : 4

4 · (2ⁿ⁺² - 1) = 5ⁿ - 1

2² · 2ⁿ⁺² - 4 = 5ⁿ - 1

2ⁿ⁺⁴ = 5ⁿ + 3

Puterile lui 5 cresc în valoare cu mult mai repede decât puterile lui 2. Prin urmare, n nu poate fi decât un număr mic. Luăm prin eliminare, începând cu 0:

n = 0: 2⁰⁺⁴ ≠ 5⁰ + 3, deoarece 16 ≠ 4

n = 1: 2¹⁺⁴ ≠ 5¹ + 3, deoarece 32 ≠ 8

n = 2: 2²⁺⁴ ≠ 5² + 3, deoarece 64 ≠ 28

n = 3: 2³⁺⁴ = 5³ + 3, deoarece 128 = 128

Numărul căutat este n = 3

Explicație pas cu pas: