Question

Determinati numărul natural n astfel încât 1•2•3•...•n+2 să fie pătrat perfect.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

1·2·3·4·.........·n + 2 = a² <=> 1·2·3·.........·n = a²-2

Numere patrate perfecte >2 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 .....

a²-2 = > 2 ; 7 ; 14 ; 23 ; 34 ; 47 ; 62 ; 79 ; 98

1·2 + 2 = 4 = 2²

Answer 2

Răspuns:

Solutie unica: n=2

Explicație pas cu pas:

O problema frumoasa.

1×2×..×n+2=a²

Sau n!+2=a², unde n! este n factorial.

Observam ca pentru n >= 5, primul termen, n!, este de forma 1×2×3×4×5×...×n. El va contine un 2 si un 5, deci n! se va termina in 0, adica se va divide cu 10.

Dupa ce adaugam un 2, n!+2 se va termina in 2. Nu exista insa nici un numar intreg care ridicat la patrat sa aiba ultima cifra 2.

Deci nu exista un a² = n!+2 pentru n>=5.

Acum ne uitam la n<5

n=1: 1+2=3, nu e bun

n=2: 1×2+2=4=2² BUN

n=3: 1×2×3+2=6+2=8 nu e bun

n=4: 1×2×3×4+2=24+2=26 nu e bun.

Deci singura solutie: n=2