Question

determinați numarul natural n stiind ca:
a) 5 la puterea 1+2+3+...+2014=5 la puterea n+1007
b) 7 la puterea 2+4+6+...+100=7 la puterea n+(n+1)​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

${5}^{1 + 2 + 3 + ... + 2014} = {5}^{n + 1007}$

$\frac{2014 \cdot 2015}{2} = n + 1007 \iff 1007\cdot 2015 = n + 1007$

$1007 \cdot 2015 = n + 1007 \\ n = 1007 \cdot 2015 - 1007 = 1007(2015 - 1) \\ \implies \bf n = 1007 \cdot 2014$

b)

${7}^{2 + 4 + 6 + ... + 100} = {7}^{n \cdot (n + 1)}$

$2(1 + 2 + 3 + ... + 50) = n \cdot (n + 1)$

$2 \cdot \frac{50 \cdot 51}{2} = n \cdot (n + 1)$

$50 \cdot 51 = n \cdot (n + 1) \implies \bf n = 50$