Question

Determinați numărul natural nenul n, știind că împărțind numerele 89 și 49, pe rând, la n, obținem resturile 8, respectiv 4. Ma poate ajuta cineva, dar repede!!

Answer 1

$q_{1}, q_{2} \in \mathbb{N}, q_{1} > 8, q_{2} > 4$

$89 = q_{1} \cdot n + 8\\49 = q_{2}\cdot n + 4 \implies 89 - 49 = n(q_{1}-q_{2}) + 4 \implies 40 = n(q_{1}-q_{2}) + 4 \implies n(q_{1} - q_{2}) = 36 = 2^{2} \cdot 3^{2}.\\n \text{ nu poate fi par, observam din prima ecuatie, deci } 3 \vert n.$

$n = 3n_{1} \implies 3n_{1}(q_{1}-q_{2}) = 2^{2} \cdot 3^{2} \implies n_{1}(q_{1} - q_{2}) = 2^2 \cdot 3 \implies 3 \vert n_{1} \iff n_{1} = 3n_{2}.\\n_{1}(q_{1} - q_{n}) = 3n_{2}(q_1 - q_{2}) =2^2 \cdot 3 \implies n_{2}(q_{1}-q_{2}) = 2^{2}\\\text{Cunoastem ca n nu este par, deci }n_{2} \text{ trebuie sa fie }1.\\n = 3n_{1} = 3 \cdot 3 n_{2} = 9 \cdot 1 = \boxed{9}.$

Verificare: $89 = 9 \cdot 9 + 8.\\49 = 9 \cdot 5 + 4$