Question

determinati numărul natural xyzt care impartit la xxt da catul 8 si restul xyt

Answer 1

xyzt = 8*xxt + xyt

1000x + 100y + 10z + t = 8(100x+10x+t) + 100x + 10y + t

1000x + 100y + 10z + t = 800x + 80x + 8t + 100x + 10y + t

1000x + 100y + 10z + t = 980x + 10y + 9t

20x + 90y + 10z = 8t

10(2x + 9y + z) = 8t

5(2x + 9y + z) = 4t

4t divizibil cu 5
(4,5)=1 rezulta t divizibil cu 5
$t\in\{0,5\}$

t=0 rezulta 5(2x+9y+z) = 0
2x + 9y + z = 0
2x = 9y = z = 0
x = y = z = 0
Si nu se poate ca toate cifrele sa fie 0

t=5 rezulta 5(2x+9y+z) = 20
2x+9y+z = 4
$9y\leq4$
9y=0
y=0
2x+z = 4
$2x\leq4 \\ \\ 2x\in\{0,2,4\} \\ \\ x\in\{0,1,2\}$
Este clar ca x este nenul, deci
$x\in\{1,2\}$
x=1 rezulta z=2
x=2 rezulta z=0
$(x,z)\in\{(1,2),(2,0)\}$
y=0, t=5
$\bar{xyzt}\in\{1205,2005\}$

DAR din impartirea din cerinta avem xxt>xyt, de unde x>y, deci 1205 nu respecta, pentru ca 1<2
2>0, deci 2005 respecta

xyzt=2005