Question

determinati numerele a b astfel ancat N =ab+ba sa fie patrat perfect

Answer 1

N = 10a + b + 10b + a = 11(a + b)
Cum N este patrat perfect ==> N = p * p ==> p * p = 11(a + b) ==> p * p divizibil cu 11, dar 11 este prim ==> p divizibil cu 11 ==> p este numar de forma 11k. Inlocuim:
11k * 11k = 11(a + b)
11k * k = a + b ==> a + b divizibil cu 11 ==> se poate scrie sub forma 11p
11k * k = 11p ==> k * k = p ==> (a + b) / 11 = k² 
Deci (a + b) / 11 este patrat perfect. Acum nu avem decat sa verificam intuitiv, stiind ca a si b sunt cifre:
Aflam ca a + b = 11  (deoarece 11 / 11 = 1, iar 1 este patrat perfect)
(a, b) ∈ {(2, 9); (3, 8); (4, 7); (5, 6); (6, 5); (7, 4); (8, 3); (9, 2)}