Question

Determinati numerele ab  ( cu bara deasupra ), stiind ca ab si ba (cu bara deasupra ) sunt direct proportionale cu doua numere naturale consecutive.

Answer 1

Trebuie ca $\displaystyle\frac{\overline{ab}}{\overline{ba}}=\frac{n}{n+1}$
sau $\displaystyle\frac{10a+b}{10b+a}=\frac{n}{n+1}$.
Înmulțind pe diagonale și făcând calcule se ajunge la
$9na-9nb+10a+b=0\Rightarrow\displaystyle n=\frac{10a+b}{9(b-a)}$.
Cum n este natural trebuie ca $10a+b$ să fie divizibil cu 9, adică numărul $\overline{ab}, \ a<b$ să fie divizibil cu 9, iar după simplificarea cu 9 numărătorul să fie divizibil cu $b-a$.
Luând pe rând numerele 18, 27, 36, 45, singurul care îndeplinește condițiile este 45.
Într-adevăr, avem $\displaystyle\frac{45}{54}=\frac{5}{6}$
Deci $a=4, \ b=5$