Question

determinati numerele natural n pe tru care numarul a=2^n+3^n+5^n este divizibil cu 5

Answer 1

Pentru oricare număr natural impar n ,  avem formula:


$\it a^n+b^n =(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+ a^{n-3}b^2-\ ...\ + b^{n-1})$


Această formulă ne asigură că :


$\it a^n+b^n \in M_{a+b},\ \ \forall n\ -\ impar\ din\ \ \mathbb{N}$


În cazul problemei noastre, 2ⁿ + 3ⁿ ∈M₅, pentru oricare n impar.

Ținând seama că 5ⁿ este un multiplu al lui 5, pentru oricare n natural nenul,

expresia din enunț va fi multiplu a lui 5 pentru orice n - impar.