Question

Determinati numerele naturale cuprinse intre 1200 si 1 300 care impartite la 9 , 6 , si 3dau, respectiv, resturile 8 , 5 , si doi

Answer 1

Notam cu x numerele cuprinse intre 1200 si 1300 ce respecta conditiile problemei

1200 < x < 1300

x : 9 = c₁, rest 8 ⇒ x = 9c₁ + 8  | +1 ⇒ x+1 = 9(c₁ + 1)⇒ (x+1) ⋮ 9

x : 6 = c₂, rest 5 ⇒ x = 6c₂ + 5  | +1 ⇒ x+1 = 6(c₂ + 1)⇒ (x+1) ⋮ 6

x : 3 = c₃, rest 2 ⇒ x = c₃ + 2  | +1 ⇒ x+1 = 3(c₃ + 1)⇒ (x+1) ⋮ 3

⇒ (x + 1) ⋮ cmmmc [9, 6, 3] ⇒ (x + 1) ⋮ 18

9 = 3²

6 = 2¹ · 3¹

3 = 3¹   ⇒ [9, 6, 3] = 3² · 2¹ ⇒ [9, 6, 3] = 18

(x + 1) = 18k  | -1 ⇒ x = 18k - 1

1200 < x < 1300

1200 < 18k - 1 < 1300    |-1 (scadem fiecare termen cu 1)

1201 < 18k < 1301   |:18   (impartim toata relatia cu 18)

67 ≤ k ≤ 72 ⇒

k ∈ {67, 68, 69, 70, 71, 72} ⇒

x ∈ {(18·67 - 1); (18·68 - 1); (18·69 - 1); (18·70 - 1); (18·71 - 1); (18·72 - 1)} ⇒ x ∈ {1205, 1223, 1241, 1259, 1277, 1295}