Question

Determinați numerele naturale de formă ab(cu o linie "culcată" deasupra),a mai mic sau egal cu b,care au proprietatea ab(cu o linie "culcată" deasupra)-ba(cu o linie "culcată" deasupra)=(a-b)³ .

Answer 1

[tex]\it \overline {ab} -\overline{ba} = (a-b)^3 \Rightarrow 10a+b-10b-a = (a-b)^3 \Rightarrow \\\;\\ \Rightarrow 9a-9b= (a-b)^3 \Rightarrow 9(a-b) - (a-b)^3=0\Rightarrow \\\;\\ \Rightarrow (a-b)[9-(a-b)^2]=0\Rightarrow \begin{cases} \it a-b=0 \Rightarrow a=b\ \ \ (1) \\\;\\ \it9-(a-b)^2=0 \ \ \ \ (2) \end{cases}[/tex]

[tex]\it (2) \Rightarrow 9=(a-b)^2\Rightarrow 9 = (b-a)^2\Rightarrow (b-a)^2 =9 \Rightarrow \\\;\\ \Rightarrow \sqrt{(b-a)^2} =\sqrt9 \Rightarrow |b-a| = 3 \Rightarrow b-a=3 \Rightarrow b = a+3 \ \ \ \ (2) \\\;\\ (1) \Rightarrow \overline{ab} \in \{11,\ 22,\ 33,\ ... ,\ 99\} \\\;\\ (2) \Rightarrow \overline{ab} \in \{14,\ 25,\ 36,\ 47,\ 58 ,\ 69\}[/tex]


Observație:

a ≤ b ⇒ b ≥ a ⇒ |b - a| = b - a