Question

Determinați numerele naturale m si n care îndeplinesc condițiile: m*n=1944 si [m;n]=216

Answer 1

[m;n]=216 inseamna ca:

m*x=216 si n*y=216 (asta inseamna ca cele doua numere sa il aiba multiplu pe 216)

Inmultind cele doua ecuatii scrise mai sus obtinem:

m*x*n*y=216*216

Dar noi stim din problema cat face m*n, asa ca inlocuim

1944*x*y=46656

x*y=46656:1944

x*y=24

Acum trebuie sa cauti ce doua numere inmultite dau 24. Singurul lucru pe care trebuie sa il ai in vedere este ca x si y sa fie prime intre ele (adica sa nu aiba nimic in comun la descompunere) Exemplu: 4 si 6 nu sunt prime intre ele pentru ca amandoua se pot imparti la 2, dar 6 si 7 sunt prime intre ele pentru ca nu se pot imparti in acelasi timp la niciun numar

x=1 si y=24

m*x=216 ⇒ m*1=216 ⇒ m=216:1 ⇒ m=216

n*y=216 ⇒ n*24=216 ⇒ n=216:24 ⇒ n=9

x=2 si y=12 (nu este o solutie valida deoarece 2 si 12 nu sunt prime intre ele)

x=3 si y=8

m*x=216 ⇒ m*3=216 ⇒ m=216:3 ⇒ m=72

n*y=216 ⇒ n*8=216 ⇒ n=216:8 ⇒ n=27

x=4 si y=6 (nu este o solutie valida deoarece 4 si 6 nu sunt prime intre ele)