Question

Determinati numerele naturale n cu proprietatea ca 5n+2/3n+1 apartine lui IN

Answer 1

Fracția $\frac{5n+2}{3n+1} \in N$ dacă și numai dacă $(3n+1)k = 5n+2, ~\text{pentru un }k \in N$

[tex]3nk+k = 5n+2\\~ 3nk+k-5n-2 =0\\~ n(3k-5)+k-2 = 0\\~[/tex]
Observăm că k = 0 și k = 1 nu sunt soluții, așadar știm că $k \geq 2$

Observăm că avem o sumă de doi termeni pozitivi care dă 0, deci ambii termeni sunt 0. În concluzie, n = 0 este singura soluție.

$\frac{5*0+2}{3*0+1} = \frac{2}{1} = 2$