Determinati numerele naturale nenule a si b, stiind ca indeplinesc simultant conditiile (a,b)=18, 7a+3b=1512.
Răspunsuri la întrebare
c.m.m.d.c.(a, b) = 18 ⇒ numerele se pot scrie de forma:
a = 18x și b = 18y, unde c.m.m.d.c.(x, y) = 1 și x, y numere naturale nenule
Această informație ne ajută să lucrăm în continuare cu numere mai mici.
⇒ 7a + 3b = 7 · 18x + 3 · 18y = 1512 | : 18
7x + 3y = 84
În cuvinte, avem suma 84 între un multiplu de 7 și un multiplu de 3.
Verificăm pentru fiecare multiplu de 7 (adică 7x, unde 7x < 84) dacă diferența 84 - 7x este un multiplu de 3 (adică 3y). Pentru fiecare soluție găsită verificăm dacă (x,y) = 1.
84 - 77 = 7 ∉ M₃
84 - 70 = 14 ∉ M₃
84 - 63 = 21 ∈ M₃ ⇒
⇒ 63 = 7x ⇒ x = 9 și 21 = 3y ⇒ y = 7
soluția convine deoarece (9,7) = 1
⇒ a = 18 · x = 162 și b = 18 · y = 126
84 - 56 = 28 ∉ M₃
...
84 - 42 = 42 ∈ M₃
⇒ 42 = 7x ⇒ x = 6 și 42 = 3y ⇒ y = 14
soluția nu convine deoarece (6,14) = 2
Verificând mai departe cu multiplii lui 7 rămași nu mai găsim soluții valide.
⇒ numerele naturale nenule a și b care îndeplinesc condițiile din enunț sunt a = 162 și b = 126