Question

Determinați numerele reale x și y care verifică relația:

(4x² + 4x + 3) · (y² - 6y + 10) = 2.

Answer 1

$4x^{2}+4x+1+2=(2x+1)^{2}+2$
$y^{2}-6y+9+1=(y-3)^{2}+1$
Stim ca in general pentru un numar real z $z^{2}\geq 0$ caz de egalitate pentru z=0 atunci in relatiile de mai sus avem
$(2x+1)^{2}+2\geq 0+2=2$
$(y-3)^{2}+1\geq 0+1=1$
Daca le inmultim
$((2x+1)^{2}+2)((y-3)^{2}+1)\geq 2*1=2$ deci avem caz de egalitate doar daca patratele sunt egale cu 0, adica
$2x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$
$y-3=0\Rightarrow y=3$