Question

determinati toate numerele naturale de forma lxy, divizibile cu 18

Answer 1

lxy ⋮ 18  sau LXY

l,x,y - cifre

l,x,y ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

l ≠ 0  (problema nu spune ca cifrele sunt diferite)

xyy pentru a fi divizibil cu 18 asta inseamna ca trebuie sa se divida simultan cu 2 si 9

→→→ Criteriu de divizibilitate cu 2: " Un număr este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima cifra a numarului este un număr divizibil cu 2" (adica para) ⇒ y ∈ {0,2,4,6,8}

→→→ Criteriu de divizibilitate cu 9: " Un număr este divizibil cu 9 dacă și numai dacă suma cifrelor numărului este divizibilă cu 9"

lxy⋮9 ⇒ (l + x + y)⋮9 ⇒ (l + x + y) ∈ {9,18,27}

!!!!!   Observam ca l + x + y = 27 nu putem avea aceasta situatie deoarece valoarea maxima a lui y este 8

Avem de analizat 5 cazuri in functie de ce valoare poate avea y

• y = 0 ⇒ l+x+0=9 ⇒ lx ∈ {90,81,18,27,72,63,36,54,45,99}  

lxy ∈ {900, 810, 180, 720, 270, 630, 360, 540, 450, 990}

• y = 2 ⇒ l+x+2=9 ⇒ l+x=7 ⇒ lx ∈ {16,61,25,52,34,43,70}

lxy ∈ {162, 612, 252, 522, 342, 432, 702}

               ⇒ l+x+2=18 ⇒ l+x=16 ⇒ lx ∈ {97,79,88}

lxy ∈ {972, 792, 882}

• y = 4 ⇒ l+x+4=9 ⇒ l+x = 5 ⇒ lx ∈ {50,14,41,32,23}

lxy ∈ {504, 144, 414, 324, 234}

              ⇒ l+x+4=18 ⇒ l+x=14 ⇒ lx ∈ {95,59,86,68,77}

lxy ∈ {954, 594, 864, 684, 774}

• y = 6 ⇒ l+x+6=9 ⇒ l+x=3 ⇒ lx ∈ {30,12,21}

lxy ∈ {306, 126, 216}

               ⇒ l+x+6=18 ⇒ l+x=12 ⇒ lx ∈ {93,39,85,58,76,67,66}

lxy ∈ {936, 396, 856, 586, 766, 676, 666}

• y = 8 ⇒ l+x+8=9 ⇒ l+x=1  ⇒ lx = 10 ⇒ lxy = 108

                ⇒ l+x+8=18 ⇒ l+x=10 ⇒ lx ∈ {91,19,82,28,73,37,64,46,55}

lxy ∈ {918, 198, 828, 288, 738, 378, 648, 468, 558}

Din cazurile analizate numerele de forma lxy ⋮ 18 sunt:

lxy ∈ {900, 810, 180, 720, 270, 630, 360, 540, 450, 990, 162, 612, 252, 522, 342, 432, 702, 972, 792, 882, 504, 144, 414, 324, 234, 954, 594, 864, 684, 774, 306, 126, 216, 936, 396, 856, 586, 766, 676, 666, 108, 918, 198, 828, 288, 738, 378, 648, 468, 558}