Question

Determinati toate numerele reale x pentru care numarul a= $\frac{2x+1}{ x^{2} +2x+3}$ este intreg.
Filip, te chem in ajutor ! :))

Answer 1

$\frac{2x+1}{ x^{2} +2x+3}=a,intreg$ ⇒ax²+2(a-1)x+3a-1=0, ⇒
Δ=4(a²-2a+1-3a²+a), trebuie ca Δ≥0 pentru x∈R, deci -2a²-a+1≥0, cu radacinile ecuatiei atasate -1 si 1/2, coeficientul lui a² este -2<0, deci solutia inecuatiei in a este intre radacini, a∈[-1; 0,5], dar se cere a∈Z, atunci a∈{-1;0}, egaland fractia data cu 0 ⇒ x=-1/2, iar pentru a=-1 ⇒x²+4x+4=0⇒ solutie unica x=-2, deci; x∈{-1/2; -2}.