Question

Determinati toate perechile (a,b) de numere intregi cu proprietatea ca suma lor este egala cu produsul lor.

Answer 1

Salut ,

O pereche care satisface conditia este (0, 0). Fie a ≠ 0, b ≠ 0. Avem a = ab – b = b(a – 1) si b = a(b – 1). Se observa ca a ≠ 1 si b ≠ 1, caci in caz contrar ar rezulta b = 0 sau a = 0, ceea ce ar contrazice ipoteza. Cum a si a – 1 sunt numere intregi consecutive si nu au niciun divizor comun, din a = b · (a – 1) => b | a si analog se arata ca a | b => a = ±b. Daca a = b => a² = 2a => a = 2 (a ≠ 0), iar daca a = –b => ab = 0 => a = 0, b = 0 analizate anterior => (a, b) ∈ {(0, 0), (2, 2)}.

Answer 2

a+b=ab
a=ab-b
a=b(a-1)
b=a/(a-1)
a,b∈Z
a-1 si a sunt succesive, deci prime intre ele
singurele valori posibile pt a-1, pt ca (a-1)| a sunt a-1=1 si a-1=-1

pt
a-1=1 ....a=2 si b=2/1=2

pt a-1=-1...... a=0 si b=0/(-1)=0

asadar perechile sunt (2;2) si (0;0)
care intr-adevar verifica cerinta