Question

Determinati toate perechile (x,y) de numere naturale pt care (xy-7)²=x²+y²

Answer 1

1. Folosesti inegalitatea x^2 + y^2 >= 2xy;
=> ( xy - 7 )^2 >= 2xy;

2. Fie xy = t, unde t e nr. natural;
   ai de rezolvat inegalitatea ( t - 7 )^2 >= 2t <=> t^2 - 16t + 49 >=0;
   faci discriminantul Δ = 60; t1 ≈ 4,1  ; t2≈ 11,8 ;
   faci tabelul de semn; alegi reuniunea celor 2 intervale de acolo si, ai nevoie de nr.       naturale => t ∈ { 12, 13, ... };

3. Fie t = 12 <=> xy = 12 => x^2 + y^2 = 25 => ( x + y )^2 = 49 => x + y = 7;
    atasezi ecuatia de gradul al doilea m^2 - 7m + 12 = 0; o rezolvi si afli solutiile 3 si 4 => x = 3 si y = 4 sau, x = 4 si y = 3;
  fie t = 13 , continui tu cu acelasi rationament;
..............................................................................

Obs. Nr. x si y obtinute trebuie sa aiba paritati diferite!

Bafta!