Question

Determinati ultima cifra a numarului n, unde n=1+1+2+2^2+2^3+...+2^2004

Answer 1

n=1+1+2+2^2+2^3+....+2^2004
Mai intai calculam 1+2+2^2+2^3+....+2^2004 apoi adaugam 1.
S=1+2+2^2+2^3+....+2^2004
S=2^0+2^1+2^2+2^3+.....+2^2004
Inmultind cu 2 obtinem:
2·S=2^1+2^2+2^3+2^4+.....+2^(2004+1)
2·S=(2^0+2^1+2^2+2^3+.....+2^2004)+2^(2004+1)-2^0
Asadar:
2·S=S+2^(2004+1)-2^0
de unde:
S=2^(2004+1)-1
S=2^2005-1
Acum adaugam 1.
n=2^2015-1+1=2^2005
Ultima cifra a numarului n este egal cu ultima cifra a numarului 2^2015.
2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32
2^6=64
puterile lui 2 se termina in: 2,4,8,6; deci este set de 4.
2005:4=503 rest 1
ultima cifra este 2.