Question

Determinati ultima cifra a numarului n , unde : n = 1 + 1 + 2 + 2² + 2³ + . . . . + 2²°°⁴ .

Answer 1

Stim ca ultima cifra a puterilor lui 2 se repeta din 4 in 4 astfel:
$U(2^{4k+1} )=2$
$U(2^{4k+2} )=4$
$U(2^{4k+3} )=8$
$U(2^{4k} )=6$

Pornind, in suma noastra, de la $2^{1}$, care are ultima cf 2 si cum ultima putere, 2004 este multiplu de 4, inseamna ca avem "seturi" de ultima cifra "2,4,8,6" care au suma 20, deci ultima cifra a sumelor partiale corespunzatoare acelor seturi va fi 0.

Ne mai ramane 1+1=2, deci
U(n)=U(1+1+0)=2

Am folosit proprietatile ultimei cf:
U(a+b)=U(a)+U(b)