Question

Determinati ultima cifra a numerelor:                        a=1997la puterea 4n+1 +1999 la puterea 4n+1 +2001la puterea n   +2005la puterea 2n    Unde n este numar natural                    b=12 la puterea n +23 la puterea n+1 +34la puterea n+2 +45 la puterea n+3 unde n este numar natural nenul. 

Answer 1

a=$1997^{4n+1} + 1999^{4n+1} + 2001^{n} + 2005^{2n}$
Cum U(n+m)=U(n)+U(m), analizam, pe rand, fiecare termen al sumei, folosind si faptul ca U($x^{n}$)=U( U(x)^{n} )[/tex].

Stim ca U(1 la orice putere)=1, deci
U(2001^{n})=U(1^{n})=1

Stim ca U(5 la orice putere)=5, deci
U(2005^{n})=U(5^{n})=5

Stim ca puterile lui 7 se repeta din 4 in 4, adica seturile de ultima cifra: 7, 9, 3, 1 pentru puteri de forma 4n+1, 4n+2, 4n+3, respectiv 4n, deci:
U(1997^{4n+1})=U(7^{4n+1})=7


Stim ca puterile lui 9 se repeta din 2 in 2, adica seturile de ultima cifra: 9, 1 pentru puteri de forma 2n+1, respectiv 2n, deci:
U(1999^{4n+1})=U(9^{4n+1})=U(9^{2*2n+1})=9

Deci
U(a)=U(7+9+1+5)=U(22)=2

La fel procedam pt b:
b=$12^{n} + 23^{n+1} + 34^{n+2} + 45^{n+3}$
doar ca analizam cazurile:

1) Daca n=4k:
U($12^{n}$)=U($2^{4k}$)=6
pentru ca ultima cf a puterilor lui 2 se repeta in seturi de 4: 2, 4, 8, 6 pentru puteri de forma 4k+1, 4k+2, 4k+3, respectiv 4k.

U($23^{n+1}$)=U($3^{4k+1}$)=3
pentru ca ultima cf a puterilor lui 3 se repeta in seturi de 4: 3, 9, 7, 1 pentru puteri de forma 4k+1, 4k+2, 4k+3, respectiv 4k.

U($34^{n+2}$)=U($4^{4k+2}$)=U($4^{2(2k+1)}$)=6
pentru ca ultima cf a puterilor lui 4 se repeta in seturi de 2: 4, 6 pentru puteri de forma 2k+1, respectiv 2k.

U($45^{4k+3}$)=5 cu explicatia de la nr a.
Deci U(b)=U(6+3+6+5)=U(20)=0

2) Daca n=4k+1:
U($12^{n}$)=U($2^{4k+1}$)=2

U($23^{n+1}$)=U($3^{4k+2}$)=9

U($34^{n+2}$)=U($4^{4k+3}$)=U($4^{2(2k+1)+1}$)=4

U($45^{4k+3}$)=5
Deci U(b)=U(2+9+4+5)=U(20)=0

3) Daca n=4k+2: U(b)=U(4+7+6+5)=U(22)=2

4) Daca n=4k+3: U(b)=U(8+1+4+5)=U(18)=8