Question

Determinați ultima cifră a numerelor:
a.2 la puterea 2017
b.3 la puterea 2017
c.5 la puterea 2018
d.6 la puterea 2019
e.7 la puterea 2020
f.8 la puterea 2021
g.9 la puterea 2022
h.4 la puterea 2023
​AJUTATI-MA VA ROGGG

Answer 1

REGULI:

Conditie: n ∈ întotdeauna N sau N* in functie de regula.

N - multimea numerelor naturale

N* - multimea numerelor naturale nenule

• Pentru puteri cu baza 2:

1. Pentru 2^4n, n=0, ultima cifra este 1, (2⁰=1).

2. Pentru 2^4×n+1, n≥0, ultima cifra este 2

n=0 => 2^(4×0+1)=2¹=2

n=1 => 2^(4×1+1)=2⁵=32

n=2 => 2^(4×2+1)=2⁹=512

3. Pentru 2^4×n+2, n≥0, ultima cifra este 4

n=0 => 2(4×0+2)=2²=4

n=0 => 2^(4×1+2)=2⁶=64

n=0 => 2^(4×2+2)=2¹⁰=1024

4. Pentru 2^4×n+3, n≥0, ultima cifra este 8

n=0 => 2^(4×0+3)=2³=8

n=1 => 2^(4×1+3)=2⁷=128

n=2 => 2^(4×2+3)=2¹¹=2048

5. Pentru 2^4n, n>0, ultima cifra este 6

Nota: n≠0: 2⁰=2^(4×0) dar este egala cu 1, regula mentionata mai sus.

n=1 => 2^(4×1)=2⁴=16

n=2 => 2^(4×2)=2⁸=256

n=3 => 2^(4×3)=2¹²=4096

• Pentru puteri cu baza 3:

1. Pentru 3^4n, n∈N, ultima cifra este 1

n=0 => 3^(4×0)=3⁰=1

n=1 => 3^(4×1)=3⁴=81

n=2 => 3^(4×2)=3⁸=6561

2. Pentru 3^4n+1, n≥0, ultima cifra este 3

n=0 => 3^(4×0+1)=3¹=3

n=1 => 3^(4×1+1)=3⁵=243

n=2 => 3^(4×2+1)=3⁹=19683

3. Pentru 3^4n+2, n≥0, ultima cifra este 9

n=0 => 3^(4×0+2)=3²=9

n=1 => 3^(4×1+2)=3⁶=729

n=2 => 3^(4×2+2)=3¹⁰=59049

4. Pentru 3^4n+3, n≥0, ultima cifra este 7

n=0 => 3^(4×0+3)=3³=27

n=1 => 3^(4×1+3)=3⁷=2187

n=2 => 3^(4×2+3)=3¹¹=177147

• Pentru puteri cu baza 4:

1. 4 se poate scrie ca si 2², care ne duce la regulile deja mentionate.

• Pentru puteri cu baza 5:

1. Pentru 5^n, n=0, ultima cifra este 1, (5⁰=1).

2. Pentru 5^n, n∈N*, ultima cifra este întotdeauna 5.

n=2 => 5²=25

n=5 => 5⁵=3125

n=7 => 5⁷=78125

• Pentru puteri cu baza 6:

1. Pentru 6^n, n=0, ultima cifra este 1, (6⁰=1)

2. Pentru 6^n, n∈N*, ultima cifra este întotdeauna 6.

n=3 => 6³=216

n=5 => 6⁵=7776

n=6 => 6⁶=46656

• Pentru puteri cu baza 7:

1. Pentru 7^4n, n∈N, ultima cifra este 1

n=0 => 7^(4×0)=7⁰=1

n=1 => 7^(4×1)=7⁴=2401

2. Pentru 7^4n+1, n≥0, ultima cifra este 7

n=0 => 7^(4×0+1)=7¹=7

n=1 => 7^(4×1+1)=7⁵=16807

3. Pentru 7^4n+2, n≥0, ultima cifra este 9

n=0 => 7^(4×0+2)=7²=49

n=1 => 7^(4×1+2)=7⁶=117649

4. Pentru 7^4n+3, n≥0, ultima cifra este 3

n=0 => 7^(4×0+3)=7³=343

n=1 => 7^(4×1+3)=7⁷=823543

• Pentru puteri cu baza 8:

1. 8 se poate scrie ca 2³, ceea ce ne duce la regulile de mai sus.

• Pentru puteri cu baza 9:

1. 9 se poate scrie ca 3², ceea ce ne duce la regulile de mai sus.

Ok, acum la exercitii:

a) 2²⁰¹⁷

2017=4×504+1=4n+1 => ultima cifra este 2

b) 3²⁰¹⁷

4n+1 => ultima cifra este 3

c) 5²⁰¹⁸ are întotdeauna ultima cifra 5

d) 6²⁰¹⁹ are întotdeauna ultima cifra 6

e) 7²⁰²⁰

2020=4×505=4n => ultima cifra este 1

f) 8²⁰²¹ = (2³)²⁰²¹ = 2⁶⁰⁶³

6063=4×1515+3=4n+3 => ultima cifra este 8

g) 9²⁰²² = (3²)²⁰²² = 3⁴⁰⁴⁴

4044=4×1011=4n => ultima cifra este 1

h) 4²⁰²³=(2²)²⁰²³=2⁴⁰⁴⁶

4046=4×1011+2=4n+2 => ultima cifra este 4