Question

Determinați ultima cifră a numerelor:
a) 99 la puetrea 51
b) 11 la puetrea 53 + 15 la puetrea 53 + 17 la puterea 53
c) 313 la puterea 100
d) 68 la puterea 86
f) 89 la puetrea 37 + 88 la puterea 38 + 87 la puterea 39
g) 71 la puterea 10 00 001
h) 1 009 la puterea 9 001
i) 77 la puterea 36 + 77 la puterea 37 + 77 la puterea 38 + 77 la puterea 39


va rog este urgent! ​

Answer 1

a) 99
$99^2=...1$ (pentru ca 9x9=81, deci ultima cifra o sa fie 1)
$99^3=...9$, am ajuns din nou la ultima cifra 9
Deci ultimele cifre se repeta din 2 in 2.
51:2=25 rest 1
Restul fiind 1, inseamna ca este vorba despre cifra 9, fiindca ea apare prima in ciclu.
Deci $99^{51}=...9$

b) 11
$11^2=121$
Aceeasi ultima cifra 1, deci orice putere a lui 11 va avea ultima cifra 1.
15
$15^2=...5$
Iarasi, orice putere a lui 15 va avea ultima cifra 5.
17
$17^2=...9$
$17^3=...3$
$17^4=...1$
$17^5=...7$
Ultimele cifre se repeta din 4 in 4.
53:4=13 rest 1.
Prima (fiindca avem restul 1) dintre cele 4 cifre care se repeta este 7, deci
$17^{53}=...7$
Insumand toate cele trei ultime cifre obtinem
...1+...5+...7=...3

c) 313
$313^2=...9$
$313^3=...7$
$313^4=...1$
$313^5=...3$
Ultimele cifre se repeta din 4 in 4.
100:4=25
Restul impartirii este 0, ceea ce inseamna ca se ajunge la ultima cifra dintre cele 4 care se repeta, adica cifra 1, deci
$313^{100}=...1$

La fel se procedeaza si pentru celelalte subpuncte si o sa obtii:

d) Ultima cifra 4
f) Ultima cifra 6
g) Ultima cifra 1
h) Ultima cifra 9
i) Ultima cifra 0