Question

determinați ultima cifră a numerelor:
b. 7+7^2+7^3+...+7^43
c. 3^0+3^1+3^2+3^3+...+3^42
d. 8+8^2+8^3+...+8^88​

Answer 1

Răspuns:

ultima cifră

Explicație pas cu pas:

b. observăm că:

${7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4} = 7 + 49 + 343 + 2401 = \bf 2800$

și

${7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} = 7 + 49 + 343 = \bf 399$

suma are 43 de termeni:

$b = ({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3}) + ({7}^{4} + {7}^{5} + {7}^{6} + {7}^{7}) + ({7}^{8} + {7}^{9} + {7}^{10} + {7}^{11}) + ... + ({7}^{40} + {7}^{41} + {7}^{42} + {7}^{43}) = ({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3}) + {7}^{3}({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4}) + {7}^{7}({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4}) + ... + {7}^{39}({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4}) = ({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3}) + ({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4}) \cdot ({7}^{3} + {7}^{7} + ... + {7}^{39}) = 399 + 2800 \cdot ({7}^{3} + {7}^{7} + ... + {7}^{39})$

=>

$u(b) = u(399) + u(2800 \cdot ({7}^{3} + {7}^{7} + ... + {7}^{39})) = 9 + 0 = 9$