Question

Determinați valorile reale ale parametrilor m si n stiind ca ecuatiile (x+1)^2+4(x+3)=5 si (m-n)x^2+2mx+2m+2n-2=0 sunt echivalente

Answer 1

(x+1)^2 + 4(x+3) = 5
x^2 + 2x+ 1 + 4x + 12 = 5
x^2 + 6x +8 = 0

(m-n)x^2 + 2mx + 2m +2n-2 = 0
m-n = 1
2m = 6 => m = 3
2m+2n-2 = 8
m-n = 1, adica 3-n = 1, adica n=2

Se verifica si a treia relatie: 2m+2n-2 = 8, adica 2*3+2-2-2=8, 8=8

Deci m=3, n=2

Answer 2

Ecuatiile sunt echivalente daca au coeficientii proportionali. Deci,
${x}^{2} + 6x + 8 = 0$
are coeficientii care indeplinesc conditia:
$\dfrac{m - n}{1} = \dfrac{2m}{6} = \dfrac{2m + 2n - 2}{8}$
care conduce la sistemul
$\left \{ {{2m - 3n = 0} \atop { - 2m - 6n = - 6}} \right.$
$= = > n = \dfrac{2}{3} ,m = 1.$