Question

Determinati x din egalitatea :
1+5+9+...+x=861

Answer 1

Termenii acestei sume sunt in progresie aritmetica cu ratie 4.(ratia este diferenta dintre 2 termeni consecutivi).
Suma unei progresii aritmetice se calculeaza cu formula :
$S_{n} = \frac{ (a_{1}+ a_{n})n }{2}$ , unde $a_{1}$ este primul termen al progresiei(in cazul tau, 1) , $a_{n}$ este ultimul termen al progresiei(in cazul tau,x) si n este numarul de termeni. Se mai cunoaste si ca :
$a_{n} = a_{1} + (n-1)r$ , unde r este ratia
Deci suma se mai poate scrie si ca :
$S_{n} = \frac{ (a_{1}+ a_{1}+(n-1)r)n }{2} = \frac{ (2a_{1}+(n-1)r)n }{2}$

Aplicam formula generala de mai sus pe exercitiul tau:

⇒$S_{n} = \frac{(2+(n-1)4)n}{2} = 861 \\ (2+4n-4)n=1722 \\ (4n-2)n=1722 \\ 4 n^{2} -2n-1722=0 \\ delta=4-4*4*(-1722)=27556,deci \sqrt{delta} = +/- 166 \\ n_{1} = (2+166)/8=21$
Cealalta solutie a ecuatiei de gradul 2 nu este valabila,intrucat n trebuie sa fie numar natural(este numar de termeni)
Deci stim ca numarul de termeni este n=21 si noi trebuie sa aflam x , care este $a_{n} = a_{21} = a_{1} + 20r= 1+80=81$