Question

determinati x din egalitatile:1+2+2×3+2×3^2+2×3^3+....+2×3^2009=3^3x

Answer 1

1+2+2*3+2*3^2+2*3^3+...+2*3^2009=3^(3x)
<=> 1+2(1+3+3^2+3^3+...+3^2009)=3^(3x)  ...(*)

Notam S=1+3+3^2+3^3+...+3^2009
3S=3+3^2+3^3+...+3^2009+3^2010
3S=(1+3+3^2+3^3+...+3^2009)+3^2010-1
3S=S+3^2010-1
2S=3^2010-1
S=(3^2010-1)/2

Deci (*) <=>1+2*(3^2010-1)/2=3^(3x) <=> 1+3^2010-1=3^(3x) <=> 3^2010=3^(3x) <=> 2010=3x <=> x=670.