Doar subiectul 2 ex 1c.
Am demonstrat prin inducție că A^n=(-5)^(n-1)*A, dar nu știu cum să fac suma. Help
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
In primul rand scrii relatia lui Cayley Hamilton
Si anume particularizata pentru matrice de ordinul 2 :
A^2 - (tr(A)) * A + det(A) I_2 = O_2
determinantul lui A este 0
observi ca: A^2 = (tr(A)) * A
A^2= -5A
A^3 = 25A
A^4 = -125A
........
A^n = (-5)^(n-1) A
Cand le aduni:
A( 1 - 5 + 5^2 - 5^3 + ........ - 5^2013)=
calculam suma : S = 1 - 5 + 5^2 - 5^3 + ........ - 5^2013
inmultim relatia cu 5:
5S = 5 - 5^2 + 5^3 - 5^4 + ........... + 5^2013 - 5^2014
Observam ca termeni: 5 - 5^2 + 5^3 - 5^4 + .......... + 5^2013 = -S - 1 din prima suma il trecem pe 1 in partea cealalta
Deci 5S = -S - 1 + 5^2014
6S = - 5^2014 -1
S = ( -5^2014 - 1 ) / 4
Deci rezultatul :
A( 1 - 5 + 5^2 - 5^3 + ................... - 5^2013 ) = A * ( -5^2014 - 1 ) / 4