Question

E dat S=9+99+999+…99…9(10bucăţi) un număr natural. Să demonstrăm:
A)S:100 B) S:9 C) S:37

Answer 1

S=9*(1+11+...+111..1)
cum (9,37) =1, trebuie sa aratam ca 
1+11+...+11...1  divizibil cu 37
cum 111=37*3 
iar 111=1*100+1*10+1
deci numerele formate din 3, 6,9 de 1 sunt divizibile cu 37
ramane sa vedem celelate
deci avem de aratat ca 1+11 +1111 +11111 +1111111 +11111111 +11...1 divizibile cu 37
         cum (4 de 1)1111 =111*10+1
                  (5de 1 )11111 =111*100+11
                  (7 de 1) 1111111= 111111*10 +1
                   (8 de 1)  11...1=111111*100 +11
                   (10 de 1) 11...1= 1...1*10 +1
deci ne raman : 1+11+1+11+1+11+1 =37