Question

E URGENT VA ROG REPEDE!!!! DAU COROANA​

Answer 1

a) Restul impartirii lui 13 la 7 este 6, deci restul impartirii lui n la 7 va fi:
$6^0+6^1+6^2+...+6^{2011}$
Restul impartirii lui $6^0$ la 7 este 1
Restul impartirii lui $6^1$ la 7 este 6
Restul impartirii lui $6^2$ la 7 este 1 (pentru ca 36=7x5+1)
Deci resturile se repeta din doi in doi.
De la puterea 0 pana la 2011, sunt 2012 termeni, numar par, deci putem grupa resturile doua cate doua (1+6)+(1+6)+...+(1+6).
Fiecare paranteza va da 7, iar restul impartirii lui 7 la 7 este 0.
Inseamna ca restul impartirii lui n la 7 va fi: 0+0+...+0=0.
Daca restul impartirii lui n la 7 este 0, inseamna ca n este divizibil cu 7.

b) Restul impartirii lui $13^0$ la 61 este 1.
Restul impartirii lui $13^1$ la 61 este 13.
Restul impartirii lui $13^2$ la 61 este 47 (pentru ca 169=61x2+47).
Restul impartirii lui $13^3$ la 61 este 47x13=611, dar restul 611 este tot una cu restul 1 fiindca 611=61x10+1.
Obtinand din nou restul 1, inseamna ca resturile se vor repeta din 3 in 3.

Stim ca avem 2012 termeni de adunat, dar 2012 impartit la 3 ne da restul 2. Inseamna ca vom putea grupa cate 3 termeni, dar ne vor ramane 2 la urma.
Adica restul impartirii lui n la 61 va fi:
(1+13+47)+(1+13+47)+...+(1+13+47)+1+13
Observam ca fiecare paranteza face 61, dar restul impartirii lui 61 la 61 este 0, deci ne vor ramane doar termenii 1+13=14.
Inseamna ca restul impartirii lui n la 61 este 14.

Answer 2

$\it a) \ n=(1+13)+13^2(1+13)+\ ...\ +13^{2010}(1+13)=\\ \\ =14+14\cdot13^2+\ ...\ +14\cdot13^{2010}=14(1+13^2+\ ...\ +13^{2010})=\\ \\ =7\cdot2(1+13^2+\ ...\ +13^{2010})\in M_7 \Rightarrow n\ \vdots\ 7$

$\it b)\ \ n=1+13+13^2(1+13+13^2)+13^5(1+13+13^2)+\ ...\ +\\ \\ +13^{2009}(1+13+13^2)=14+183(1#^2+13^5+\ ...\ +13^{2009} )=\\ \\ =14+61\cdot3(13^2+13^5+\ ...\ +13^{2009} )\in 14+M_{61} \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow \ restul\ \hat\imath mp\breve ar\c{\it t}irii\ lui\ n\ la\ 61\ este\ egal\ cu\ 14.$