Question

E3 va rog, coroana
Sa de determine x apartine R pentru care exista logaritmii:

Answer 1

Condițiile de existență în R a unui logaritm sunt:

• baza trebuie să fie un număr pozitiv și diferit de 1
• argumentul trebuie să fie un număr pozitiv

Exemplu

Fie logaritmul cu baza a și argumentul b.

Pentru ca acest logaritm să existe în mulțimea numerelor reale:

• a > 0
• a ≠ 1
• b > 0

Rezolvare

Punctul a)

3 > 0, 3 ≠ 1 deci pentru ca logaritmul să existe în R:

x + 4 > 0

x > -4

x ∈ (-4, ∞)

Punctul b)

$\dfrac{1}{2}$ > 0, $\dfrac{1}{2}$ ≠ 1 deci pentru ca logaritmul să existe în R:

2 - x > 0

-x > -2

x < 2

x ∈ (-∞, 2)

Punctul c)

4 > 0, 4 ≠ 1 deci pentru ca logaritmul să existe în R:

x² - 4 > 0

x² > 4

x ∈ (-∞, -2) ∪ (2, ∞)

Punctul d)

$\dfrac{2}{3}$ > 0, $\dfrac{2}{3}$ ≠ 1 deci pentru ca logaritmul să existe în R:

9 - x² > 0

-x² > -9

x² < 9

x ∈ (-3, 3)

Punctul e)

10 > 0, 10 ≠ 1 deci pentru ca logaritmul să existe în R:

-x² + x + 2 > 0

• Observăm că avem o funcție de gradul 2.

a = -1, b = 1, c = 2

Δ = b² - 4ac = 1 - 4 × 2 × (-1)

Δ = 1 + 8 = 9

$\displaystyle{x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\triangle}}{2a} = \frac{-1 + 3}{-2}=-1 }$

$\displaystyle{ x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\triangle}}{2a}=\frac{-1-3}{-2}=2 }$

• Se face tabelul de semn (vezi în imaginea atașată).
• Observăm că funcția este pozitivă între valoarea minimă -1 și valoarea maximă 2.

Deci x ∈ (-1, 2)

Punctul f)

e > 0, e ≠ 1 deci pentru ca logaritmul să existe în R:

x² + 25 > 0

x² > -25

x ∈ R (deoarece orice număr ridicat la pătrat este pozitiv)

Punctul g)

e > 0, e ≠ 1 deci pentru ca logaritmul să existe în R:

-x > 0

x < 0

x ∈ (-∞, 0)

Punctul h)

3 > 0 deci pentru ca logaritmul să existe în R:

x + 1 > 0

x > -1 ⇒ x ∈ (-1, ∞) (relația 1)

x + 1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 0 (relația 2)

Din relația 1 și relația 2 ⇒ x ∈ (-1, ∞) \ {0}

Și restul subpunctelor tot așa se rezolvă.

Ideea ai înțeles-o, mai trebuie doar să faci calcule.

Mult succes!