Question

E7. Fie G=(-3, 3) şi legea de compo- 9x +9y Să se ziție pe G, xoy= 9+ xy arate că: a) (G, ) este grup comutativ; 3+x b) f: GR, f(x) = log2 3-x este izomorfism între grupurile (G, ) şi (R. +).​

Answer 1

Un grup este comutativ daca:

• Legea este comutativa
• Legea este asociativa
• Legea are element neutru

• Legea are element simetric

$x\circ y=\frac{9x+9y}{9+xy}$

a)

1. Comutatitivitatea

• x°y=y°x
• $x\circ y=\frac{9x+9y}{9+xy}\\\\y\circ x=\frac{9y+9x}{9+yx}$
• Observam ca sunt egale⇒
• legea este comutativa

2. Asociativitatea

(x°y)°z=x°(y°z)

$(x\circ y)\circ z=a\circ z=\frac{9a+9z}{9+az} \\\\a=\frac{9x+9y}{9+xy}$

$a\circ z=\frac{\frac{81x+81y}{9+xy}+9z }{9+\frac{9xz+9yz}{9+xy} }$

Simplificam pin 9:

$a\circ z=\frac{\frac{9x+9y+9z+xyz}{9+xy} }{\frac{9+xy+xz+yz}{9+xy} } =\frac{9x+9y+9z+xyz}{9+xy+xz+yz}$

$x\circ (y\circ z)=x\circ b\\\\b=\frac{9y+9z}{9+yz}$

$x\circ b=\frac{9x+9b}{9+xb} =\frac{9x+\frac{81y+81z}{9+yz} }{9+\frac{9xy+9xz}{9+yz} }$

Simplificam pin 9:

$x\circ b=\frac{9x+xyz+9y+9z}{9+yz+xy+xz}$

Observam ca sunt egale deci legea este asociativa

3. Element neutru

x°e=e°x=x

$x\circ e=x\\\\\frac{9x+9e}{9+xe} =x$

Inmultim pe diagonala si obtinem:

9x+9e=9x+x²e  |-9x

9e=x²e

9e-x²e=0

e(9-x²)=0

e=0 element netru

4. Element simetric

x°x'=x'°x=e

$x\circ x'=e\\\\\frac{9x+9x'}{9+xx'}=0$

Inmultim pe diagonala si obtinem:

9x+9x'=0

9x'=-9x

x'=-x element simetric

⇒ este grup comutativ

b)

f(x) este izomorfism intre grupurile (G,°) si (R, +) daca;

f(x°y)=f(x)+f(y)

$f(x)=log_2\frac{3+x}{3-x}$

$f(y)=log_2\frac{3+y}{3-y}$

$f(\frac{9x+9y}{9+xy} )=log_2\frac{3+\frac{9x+9y}{9+xy}}{3-\frac{9x+9y}{9+xy}} \\\\f(\frac{9x+9y}{9+xy} )=log_2\frac{27+3xy+9x+9y}{27+3xy-9x-9y}$

Simplificam cu 3 si obtinem:

$f(\frac{9x+9y}{9+xy} )=log_2\frac{xy+3x+3y+9}{xy-3x-3y+9}$

$f(x)+f(y)=log_2\frac{3+x}{3-x} +log_2\frac{3+y}{3-y} =log_2(\frac{3+x}{3-x}\cdot \frac{3+y}{3-y})\\\\f(x)+f(y)=log_2\frac{xy+3x+3y+9}{xy-3x-3y+9}$

Observam ca f(x°y)=f(x)+f(y) ⇒ f(x) este izomorfism intre grupurile (G,°) si (R, +)

Un alt exercitiu gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1488498

#SPJ1