Question

Efectuati:
a)$\frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \frac{1}{1+2+3+4} +...+ \frac{1}{1+2+...+2005}$
b)$(1- \frac{1}{2})*(1- \frac{1}{3} )*(1- \frac{1}{4} )*...*(1- \frac{1}{2005} )$ (sa stiti ca aceste stelute de la punctul b sunt semnul de inmultire "ori"). Dau coroana multumiri si voturi, va multumesc

Answer 1

1 +2 = 2 · 3  / 2                                          ------------>  ex.    2  /  2· 3 
1 +2 +3 = (1 +3) · 3 /2   = 3 · 4  / 2               ----------- > ex,     2  /  3· 4  
1 +2+3+4  = ( 1 + 4 ) · 4 / 2 =  4 · 5  / 2          ---------- > ex.     2  / 4· 5 
1 +2+ 3+4+5  = ( 1 + 5) · 5 /2 = 5 · 6  / 2 
...........................................
1 + 2+ .. + 2005 =  2005  · 2006    /2            ------------>  ex.     2 / 2005 · 2006 
suma =  2  · (  1 /2·3 +  1 / 3· 4   + 1 / 4· 5 + .... +  1 / 2005 · 2006 ) 
suma = 2 · ( 1 /2  -  1 /3 + 1 /3 - 1 /4 + 1 /4 - 1 /5   + ·· + 1 /2005 -   1 /2006  ) 
                            dupa reduceri , ⇒  primul si ultimul 
suma = 2 · ( 1 /2   - 1 /2006 )  = 2 · ( 1003 -  1 )  /2006 = 1002  / 1003 

b.       1 / 2  · 2 /3  ·3 /4 · ······· 2004 /2005  =  
               ⇒ simplificari ⇒ primul numarator   / ultimul numitor 
= 1 / 2005 

Answer 2

$a)~ \frac{1}{1+2}+ \frac{1}{1+2+3}+ \frac{1}{1+2+3+4}+...+ \frac{1}{1+2+3+...+2005}= \\ \\ = \frac{1}{ \frac{2 \cdot 3}{2} } + \frac{1}{ \frac{3 \cdot 4}{2} } + \frac{1}{ \frac{4 \cdot 5}{2} } +...+ \frac{1}{ \frac{2005 \cdot 2006}{2} } = \\ \\ = \frac{2}{2 \cdot 3}+ \frac{2 }{3 \cdot 4}+ \frac{2}{4 \cdot 5} +...+ \frac{2}{2005 \cdot 2006}= \\ \\ =2 \Big( \frac{1}{2 \cdot 3}+ \frac{1}{3 \cdot 4}+ \frac{1}{4 \cdot 5} +...+ \frac{1}{2005 \cdot 2006} \Big)=$

$=2~\Big( \frac{1}{2}- \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{4}+ \frac{1}{4} - \frac{1}{5}+...+ \frac{1}{2005}- \frac{1}{2006} \Big )= \\ \\ =2 \Big ( \frac{1}{2}- \frac{1}{2006} \Big)= \\ \\ =2 \cdot \frac{1002}{2006}= \\ \\ = \frac{1002}{1003} .$

$Aici~am~folosit~formula~pentru~suma~lui~Gauss~la~fiecare \\ \\ fractie~si~faptul~ca~ \frac{1}{k(k+1)}= \frac{1}{k}- \frac{1}{k+1}.$

$b)~ \Big(1- \frac{1}{2} \Big) \Big (1- \frac{1}{3} \Big) \Big ( 1-\frac{1}{4} \Big)... \Big( 1-\frac{1}{2005} \Big) = \\ \\ = \frac{1}{ \not2} \cdot \frac{\not2}{\not3} \cdot \frac{\not3}{\not4} \cdot ... \cdot \frac{\not2004}{2005}= \\ \\ = \frac{1}{2005}.$