Question

Elevii de gimnaziu a unei scoli sunt în număr mai mic decât 400 și în număr mai mare decât 200. Dacă sunt împărțiți în grupe de câte 20, 25 și 30, se obțin resturile 18, 23 respectiv 28. Câți elevi pot fi în gimnaziu?.

Answer 1

Răspuns:

298

Explicație pas cu pas:

$\begin{cases}n = 20 \cdot a + 18 \ \ \Big|+2 \\n = 25 \cdot b + 23 \ \ \Big|+2 \\n = 30 \cdot c + 28 \ \ \Big|+2 \end{cases} \iff \begin{cases}n + 2 = 20 \cdot a + 20 \\n + 2 = 25 \cdot b + 25 \\n + 2 = 30 \cdot c + 30 \end{cases}$

$\begin{cases}n + 2 = 20 \cdot (a + 1) \\n + 2 = 25 \cdot (b + 1) \\n + 2 = 30 \cdot (c + 1) \end{cases}$

20 = 2²×5

25 = 5²

30 = 2×3×5

[20;25;30] = 2²×3×5² = 300

=> (n + 2) este multiplu nenul al lui 300

$200 < n < 400 \iff 202 < n + 2 < 402$

$n + 2 = 300 \implies n = 298$

Answer 2

Explicație pas cu pas:

Notăm x nr de elevi.

Notăm a,b,c câturile.

200 < x < 400

x : 20 = a (rest 18) ==> x = 20a + 18 /+2 ==>

x : 25 = b (rest 23) ==> x = 25b + 23 /+2 ==>

x : 30 = c (rest 28) ==> x = 30c + 28 /+2 ==>

==> x + 2 = 20a + 20 ==> x + 2 = 20(a + 1) ==>

==> x + 2 = 25b + 25 ==> x + 2 = 25(b + 1) ==>

==> x + 2 = 30c + 30 ==> x + 2 = 30(c + 1) ==>

==> 20 | x+2 /

==> 25 | x+2 / ==> x+2 ∈ M[20,25,30] /

==> 30 | x+2 / /

/

20 = 2² • 5 / ==>

25 = 5² /

30 = 2 • 3 • 5 /

-------------------- /

[20,25,30] = 2² • 3 • 5² = 4 • 3 • 25 = 300 /

==> x+2 ∈ M(300) ==> x + 2 ∈ (0, 300, 600, 900, ...) / -2 ==>

==> x ∈ (-2; 298; 598; 898; ...) / ==> x = 298 ==>

Dar 200 < x 400 /

Nr. de elevi din gimnaziu este de 298.

Să ai o zi bună! Dacă nu înțelegi ceva îmi poți răspunde.