Question

Enuntul e asa:Aflati toate perechile de numere intregi (x,y) care verifica relatia:xy+3x+3y+9=14. As dori rezolvarea completa ca sa inteleg cum se rezolva acest tip de exercitiu.Va multumesc! am pus 20
de puncte

Answer 1

faci un artificiude calcul
xy+3x+3y+9=x(y+3) +3(y+3)=(x+3) (y+3)
"observi" ca expresia din stanga provine de fapt din
(x+3)(y+3)=14
14, ca produsde numere intregi poate proveni din
1*14=2*7=7*2=14*1=(-1) *(-14)=(-2)*(-7)=(-7)*(-2)=(-14)*(-1)


acum iei si rezolvi toate aceste combinatii posibile
x+3=1 decui x=-2
y+3=14 deci y=11

x+3=2  x=-1
y+3=7  y=4

urmatoarele pozitive le facem prin simetrie si cum ne-a cerut perechi nu lereluam inversand ordinea

asa ca  luam acum pe cele negative
x+3=-1    x=-4
 y+3=-14  x=-17


x+3= -2    x=-5
 y+3=-7    y=-10

urmatoarele 2 sunt simetrice, nu le mai calculam
 deci

(x;y) ∈{(-2;11);(-1;4);(-4;-17);(-5;-10)}
ar fi o varianta de raspuns
alta , mai corecta cred, ar fi sa scriem si simetricele lor, pentru ca specificandu-ni-se (x, y) inseamna ca ordinea conteaza si numerele sunt diferite

(x;y) ∈{(-2;11);(-1;4);(-4;-17);(-5;-10); (11;-2); (4;-1);(-17;-4);(-10;-5)}

Answer 2

xy+3x+3y+9=14 ⇒ (xy + 3y) + (3x + 9) = 14 ⇒ y(x+3) + 3(x+3) =14 ⇒

⇒ (x + 3)(y +3) = 14

Notăm x+3 = a,  y+3 = b  și avem  a·b=14 ⇒ a ∈ D₁₄ și  b ∈ D₁₄

 a ∈ {±1,  ±2,  ±7,  ±14}

 a ∈ {-14,  -7,  -2,  -1,  1,  2,  7,  14}

 b ∈ {-1,  -2,  -7,  -14,  14,  7,  2,  1}

Revenim asupra notației și obținem:

 x + 3 ∈ {-14, -7, -2, -1,1, 2, 7, 14}|-3 ⇒ x∈ {-17, -10, -5, -4, -2, -1, 4, 11}

 y+3∈{-1, -2, -7, -14, 14,  7,  2,  1}|-3 ⇒ y ∈ {-4, -5, -10, -17, 11, 4, -1, -2}

(x, y)∈{(-17,-4), (-10, -5), (-5,-10), (-4,-17), (-2, 11), (-1, 4), (4, -1),(11,-2)}.