Question

Este corecta varianta a) 4 ?

Answer 1

Răspuns:

Varianta corectă: a) 4

Explicație pas cu pas:

Dezvoltarea se face conform binomului lui Newton:

$(a+b)^{n} = C_{n} ^{0} a^{n} b^{0} + C_{n} ^{1} a^{n-1} b + ... + C_{n} ^{n} a^{0} b^{n}$

Coeficientul lui a este n-k, iar coeficientul lui b este k.

n = 21, iar k ia valori de la 0 la 21.

Termenii binomului sunt:

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{3} }$

$\frac{1}{\sqrt{x} } = x^{-\frac{1}{2} }$

Condițiile pentru ca exponenții să fie numere întregi sunt:

1. 21-k (exponentul primului termen) trebuie să fie multiplu de 3

2. k (exponentul celui de-al doilea termen) trebuie să fie multiplu de 2.

Adică:   $\frac{21-k}{3} + \frac{k}{2}$  ∈ Z

Echivalent cu    $\frac{42-2k + 3k}{6}$  ∈ Z  ⇔  $7 +\frac{k}{6}$ ∈ Z  ⇔  $\frac{k}{6}$ ∈ Z

Așadar, k = {0, 6, 12, 18}  - în total 4 soluții.

Varianta corectă de răspuns este a)