Question

este funcția bijectivă?
vreau și rezolvare

Answer 1

O functie este bijectiva daca si numai daca este injectiva si surjectiva.

f:R\{1}→R\{1} a.i. f(x)=1-x /1+x .

x=y => f(x)=f(y) ,f(y)=1-y /1+y => 1-x /1+x =1-y /1+y <=> (1-x)·(1+y)=(1+x)·(1-y) <=>

1+y-x-xy=1-y+x-xy <=> y-x=-y+x <=> 2y=2x <=> x=y => f(x)=f(y) => f(x)=1-x /1+x este injectiva .

Pentru orice y∈R\{1} exista x∈R\{1} a.i. f(x)=y <=> 1-x /1+x=y <=> 1-x -y·(1+x) /1+x =0 ,dar deoarece 1+x≠0 pentru x∈R\{1} => 1-x -y·(1+x)=0 <=> x +y·(1+x)=1 <=>

x+y+xy=1 => Im f=B => este surjectiva ,asadar f(x)=1-x /1+x este bijectiva .