Question

Ex 7 b . Va rog frumos. Este urgent ... Dau puncte multe si coroana. Ce rog ajutați.ma

Answer 1

√n(n+1)/(2n+1) comparat cu  1/2
ridicam la patrat
(n²+n)/(4n²+4n+4)  comparat cu  1/4
4n²+4n comparat cu 4n²+4n+1
4n²+4n < 4n²+4n+1

atunci
√n(n+1)/(2n+1)<1/2

deci
√2/3=√1*√2/3<1/2
√6/5=√2*√3/5<1/2
√12/7=√3*√4/7<1/2
..................................
√2017*√2018/4035<1/2

insumand obtinem
√2/3+√6/5+√12/7+....+√2017*√2018/4035<1/2+1/2+....+1/2  in total 2017de 1/2=
=2017*(1/2)=2017/2
C.C.T.D.

Answer 2

 Suma din partea stângă se poate scrie :

$\it s = \dfrac{\sqrt{1\cdot2}}{3} + \dfrac{\sqrt{2\cdot3}}{5} + \dfrac{\sqrt{3\cdot4}}{7} +\ ...\ + \dfrac{\sqrt{2017\cdot2018}}{4035}$

Se poate observa că suma conține 2017 termeni.


Fiecare termen al acestei sume este de forma :


$\it \dfrac{\sqrt{n(n+1)}}{n+n+1} = \dfrac{\sqrt{n(n+1)}}{2n+1}\ \ \ \ (1)$

Inegalitatea mediilor (Mg ≤ Ma),  aplicată numărătorului fracției, implică:

$\it \sqrt{n(n+1)} \leq \dfrac{n+n+1}{2} \Rightarrow \sqrt{n(n+1)} \leq \dfrac{2n+1}{2} \ \ \ \ (2)$

$\it (1),\ (2) \Rightarrow \dfrac{\sqrt{n(n+1)}}{2n+1} \leq \dfrac{\dfrac{2n+1}{2}}{2n+1} = \dfrac{2n+1}{2(2n+1)}=\dfrac{1}{2}$

Așadar, fiecare dintre cele 2017 fracții ale sumei este ≤ 1/2. Prin urmare, se

poate scrie : 

$\it s\leq \ \underbrace{\it\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} +\ ...\ +\dfrac{1}{2}}_{2017\ termeni } \Rightarrow s \leq 20017\cdot\dfrac{1}{2} \Rightarrow s \leq \dfrac{2017}{2}$