Question

Ex ăsta vă rog! am nevoie de rezolvare completă….

Answer 1

Consideram functia $f(x)=\sqrt{x+2}-\sqrt{x+3}$.
Fiind vorba despre solutii reale si radicali, apar restrictiile:
$x+2\ge 0 \implies x \ge -2$
$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$
Deci $x\ge -2$.

Calculam derivata
$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}-\frac{1}{2\sqrt{x+3}}=\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{x+2}}-\frac{1}{\sqrt{x+3}})$

Dar $\sqrt{x+2} < \sqrt{x+3}\text{ , }\forall x\in[-2, \infty)$

$\implies \frac{1}{\sqrt{x+2}} > \frac{1}{\sqrt{x+3}}\text{ , }\forall x\in[-2, \infty)$

$\implies \frac{1}{\sqrt{x+2}}-\frac{1}{\sqrt{x+3}} > 0\text{ , }\forall x\in[-2, \infty)$

$\implies f'(x) > 0\text{ , }\forall x\in[-2, \infty)$

$\implies \text{ }f \text{ este crescatoare pe }[-2, \infty)$

Se observa ca $\sqrt2-\sqrt3=f(0)$.

Atunci inegalitatea devine $f(x) < f(0)$.

Dar $f$ este crescatoare. Atunci $f(x) < f(0)\implies x < 0$

$x\ge-2$  si  $x < 0$  inseamna ca  $x\in [-2, 0)$.

Deci raspunsul corect este B.

Answer 2

Explicație pas cu pas:

$\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 3} < \sqrt{2} - \sqrt{3}$

condiții de existență:

$x + 2 \geqslant 0 \implies x \geqslant - 2 \\ x + 3 \geqslant 0 \implies x \geqslant - 3 \\ x \in [ - 2, + \infty)$

$(\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 3}) - ( \sqrt{2} - \sqrt{3}) < 0$

x este funcție strict crescătoare

$\sqrt{x + 2} < \sqrt{2} \\ \sqrt{x + 3} < \sqrt{3} \\ x \in ( - \infty , 0)$

$x \in [ - 2, + \infty) \cap ( - \infty , 0) \implies x \in [ - 2, 0)$