Question

examen de bacaloreat varianta 77​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

• a)

f(x) =(e^x-1)/x : R*->R

f(1) =e-1

f'(x) =(e^x *x-(e^x-1)*1)/x^2

f'(1)=(e-e+1)/1=1

ec tangentei

y-f(1) =f'(1) (x-1)

y-(e-1)=1*(x-1)

y-e+1=x-1

y=x-e-2

care se verifica , cf desen realizat cu un cunoscut program opensource

• b )  Cu expresia data, \

AVEM

f(x) =(e^x-1)/x : R*->R

deci functia nu e definita in 0 pt ca numitorul NU poate fi nul

daca definim f(0)=1

observam la limitele la stanga si la dereapta sunt, cu Regua lui  L'Hospital

lim cand x->0 din e^0/1=1/1=1

deci limitele laterale sunt finite si egale cu cu valoarea functei, functia este continua

• Reciproc, dacă functia este continua, cum limitele laterale sunt 1, suntem OBLIGATI sa dam pt f(0) valoarea 1,  CEEA CE AUTORUL PROBLEMEI A SI FACUT

c) dacă funcția este continua, e poate fi derivabila; e necesar ca derivatele laterale sa existe si sa fie egale (nu obligatoriu si finite) trebuie sa calculam derivatele

lim f's(x) =lim cand x->0 din ((e^x-1)/x)'=

lim cand x->0 din (x*e^x -(e^x-1) *1)/x^2=

lim cand x->0 din (xe^x-e^x+1)/x^2

L'Hos[pital o data

lim cand x->0 din (e^x+x*e^x-e^x)/2x=

L'Hospital a doua ora

lim cand x->0 din (e^x+e^x+x^e^x-e^x)/2=

lim cand x->0 din(e^x+xe^x)/2=

1/2

la dreapta e aceasi limita, nu se modifica nimic in calcul, trebuie doar sa scrii f'd

cum derivatela la s si la d sunt egale  si functia estre continua, ea este DERIVABILA in 0

Obs

Graficul atasat este corect, ..probabil programatorul a facut EXACT ce a facut si autorul problemei DEFININD el f(0)=1, altfel ar fi trebuit ca punctul (0;1) sa fie SCOS din reprezentarea grafica

vezi desenul 2...ca idee NUma lasa sa mut PE GRAFIC punctul pana in (0;1) . pur si simplu disparea , a trebuit sa il definesc separat