Question

Exerciţii
1. Folosind metoda inducției matematice, să se demonstreze ca pentru orice număr
natural nenul n, sunt adevărate egalitățile: (dacă se poate și cu explicații).
d )
2²+6²+...+(4n-2)²=[4n(2n-1)(2n+1)]/3

Answer 1

Metoda inducției matematice are 2 etape. Prima etapa e cea de verificare, in care se verifica daca are loc relația pentru primul nr natural, in acest caz pentru n=1. A doua etapa este cea de demonstrație in care se presupune ca P(k) este adevarata pentru orice k nr natural, arbitrar dar fixat si se demonstrează ca P(k+1) e adevarata. P(k) se scrie înlocuit n cu k in relația inițială. P(k+1) se scrie având toții termenii de la P(k) la care se adauga inca un termin si anume in forma termenului general se înlocuiește n cu k+1, la fel si in membrul drept, apoi se face calcul in partea stanga pentru a arata ca se obține ceea ce e in partea dreapta.

Answer 2

Răspuns:

Metoda inducție matematice are 2 etape:

1. Etapa de verificare

Luam n=1 și înlocuim în egalitatea de dem.

2^2=(4×1×3)/3

4=4 (adevarat)

2.Etapa de demonstratie

Presupunem ca p(k) este adevarata și dem ca p(k+1) este adevarata deoarece p(k) implica p(k+1).

Mai concret,

p(k): 2^2+6^2+...+(4n-2)^2=[4n(2n-1)(2n+1)]/3

p(k+1): 2^2+6^2+...+(4n-2)^2+(4n+2)^2

=[4n(2n-1)(2n+1)]/3+2^2×(2n+1)^2

=[4n(2n-1)(2n+1)+4×3(2n+1)^2]/3

=4(2n+1)(2n^2-n+6n+3)/3

=4(2n+1)(2n^2+5n+3)/3

=4(2n+1)(2n(n+1)+3(n+1))/3

=4(2n+1)(n+1)(2n+3)/3

=4(n+1)(2n+1)(2n+3)/3