Question

Exercitiul 17 va rog, dau corana !!!

Answer 1

 

Problema 17 (Vezi desenul atasat.)

Se da:

Trapezul ABCD, AB || CD, BC = CD = AD, m(∡A) = m(∡B) = 60°

Se duce DE ⊥ AC, E ∈ AC  si DE ∩ AB = F

SE cere:

a) Sa se arate ca  BC = 2EF

b) Sa se arate ca  CF ⊥ BD

Rezolvare:

------------------------------------------------

m(∡A) = m(∡B) = 60°

Unghiurile obtuze ale trapezului isoscel sun egale.

m(∡C) = m(∡D) = (360 - A - B)/2 = (360 - 60 - 60)/2 = 240/2 = 120°

In ΔDAC avem:

m(∡D) = 120°  si  DA = DC  

⇒  ΔDAC este isoscel

⇒  m(∡DAC) = m(∡DCA) = (180 - 120)/2 = 60/2 = 30°

In ΔABC avem:

m(∡ACB) = m(∡BCD) - m(∡ACD) = 120 - 30 = 90°

⇒ΔABC este dreptunghic in C.

⇒ BC ⊥ AC

------------------------------------------------

a)

DE ⊥ AC  

⇒ DE || BC ambele fiind perpendiculare pe AC

E este mijlocul diagonalei AC deoarece ΔDAC este isoscel si in triunghiul isoscel inaltimea dusa latura necongruenta este si si mediana.

⇒  In ΔABC avem:

EF || BC si trece prin mijlocul laturii AC.

⇒ EF este linie mijlocie in ΔABC.

⇒ EF = BC/2  

⇒BC = 2EF

------------------------------------------------

b)

EF este linie mijlocie in ΔABC   (stim de la punctul a) )

⇒ F este mijlocul laturii AB

In ΔDAF avem:

m(∡DAF) = 60° (din enunt)

m(∡DFA) = m(∡CBA) = 60°  (fiind unghiuri corespondente)

⇒ ΔDAF este triunghi echilateral

⇒ AF = DA = DF

BF = AF (deoarece F este mijlocul lui AB)

BC = CD = AD  din enunt

⇒ BF = AF = AD = CD = BC

⇒ BC = CD = DF = BF

⇒ patrulaterul  BCDF este romb.

⇒ CF ⊥ BD  fiind diagonalele rombului